LENTUR BATANG ELASTIS
Dalam perencanaan suatu bagian mesin atau struktur selain
perhitungan tegangan
(stress) yang
terjadi akibat beban yang bekerja, besarnya lenturan seringkali harus
diperhitungkan.
Hal ini disebabkan walaupun tegangan yang terjadi masih lebih kecil daripada
tegangan
yang diijinkan oleh kekuatan bahan, bisa terjadi besar lenturan akibat beban
yang
bekerja
melebihi batas yang diijinkan. Keadaan demikian dapat menyebabkan kerusakan
yang serius pada bagian mesin seperti :
a.
Keretakan pada bahan
b.
Bantalan pada poros yang berputar cepat rusak.
c.
Bidang kontak antara roda-roda gigi menjadi tidak sempurna.
Besarnya lenturan yang terjadi pada suatu bagian mesin
terutama tergantung kepada beberapa faktor :
a.
Sifat kekakuan bahan (modulus elastisitas)
b.
Posisi batang terhadap beban dan dimensi batang, yang biasanya ditunjukkan
dalam besaran momen inertia batang.
c.
Besarnya beban yang diterima
Lenturan pada suatu batang dapat terjadi akibat adanya beban
gaya geser atau momen lentur. Lenturan akibat beban gaser umumnya sangat kecil
dibandingkan dengan lenturan akibat beban momen. Lenturan akibat
beban geser biasanya hanya diperhitungkan untuk batang yang sangat pendek, sehingga
proporsi terhadap lenturan yang terjadi karena beban momen
menjadi cukup berarti. Dalam bahasan buku ini hanya lenturan karena beban momen saja yang
diperhitungkan, karena struktur yang dibahas memakai batang relatif panjang. Besarnya
lenturan akibat beban momen dapat dihitung dengan memakai salah satu dari empat metode
berikut:
a.
Metode analitis (cara integrasi)
b.
Metode luas bidang momen
c.
Metode penjumlahan (superposisi)
d.
Metode energi strain atau metode Castigliano.
Metode analitas atau integrasi dilakukan dengan cara mencari persamaan
diferensial momen yang terjadi sepanjang batang. Dari persamaan momen kemudian
diselesaikan dengan cara integrasi dua kali, untuk mendapatkan persamaan lenturan.
Dua konstanta yang timbul akibat proses integrasi dapat dihitung dari
kondisi batas (boundary conditions), yang ada pada struktur yang bersangkutan. Hasilnya
adalah sebuah persamaan fungsi besar lenturan yang terjadi
terhadap panjang batang, dari titik koordinat awal yang ditentukan.
Metode luas bidang momen adalah metode semigrafis, dengan
memanfaatkan sifat sifat dari persamaan matematis lenturan. Luas bidang momen tidak
dicari dengan menurunkan persamaannya, tetapi dengan cara menghitung luasan yang
terjadi secara geometri. Metode ini lebih sederhana dan lebih cepat
dibandingkan dengan metode integrasi terutama untuk struktur
yang menerima banyak beban sepanjang batangnya.
Metode penjumlahan (superposisi) dilakukan dengan
memanfaatkan besar lenturan yang telah dihitung sebelumnya
(biasanya ditabelkan), pada struktur yang sederhana. Suatu struktur
yang kompleks dibagi menjadi beberapa bagian berupa struktur yang lebih
sederhana, yang besar lenturannya masing-masing telah diketahui. Besar
lenturan pada struktur keseluruhan adalah jumlah dari semua lenturan yang terjadi
pada masing-masing bagian struktur tersebut.
Metode energi strain biasa disebut dengan nama penemunya
yaitu seorang insinyur Italia bernama Alberto Castigliano, pada tahun 1873. Teori
Castigliano menyatakan bahwa lenturan yang terjadi pada suatu titik
pada suatu batang adalah merupakan turunan parsial dari persamaan
energi yang tersimpan didalam batang akibat beban yang bekerja, terhadap gaya yang
bekerja pada titik tersebut. Apabila pada titik yang dicari lenturannya tidak
ada gaya yang bekerja, maka biasanya diberikan gaya nol (dummy load) pada
titik tersebut.
Penentuan metode mana yang terbaik atau seharusnya dipakai
untuk memecahkan masalah lenturan suatu struktur, tergantung kepada jenis
pembebanan dan kompleksitas strukturnya dan sedikit banyak juga
tergantung kepada pengalaman perencana yaitu metode mana yang
paling dikuasai. Tingkat ketelitian perhitungan yang diperlukan juga menentukan pemilihan
metode yang dipakai, karena metode pada semigrafis misalnya sering memerlukan pendekatan
untuk dapat menghitung luas bidang momen. Metode Castigliano adalah metode yang
banyak dipakai, karena prosedur perhitungannnya sederhana walaupun dipakai pada batang
dengan banyak beban dan struktur yang kompleks, dan derajad ketelitian perhitungannya
tinggi.
Keempat metode pemecahan masalah lenturan tersebut diatas
dapat digunakan pada batang dengan struktur statis tertentu maupun statis tak
tentu. Penggunaan keempat metode perhitungan tersebut mempunyai
kelebihan karena dapat sekaligus menghitung besarnya reaksi yang
terjadi pada tumpuan pada batang dengan struktur statis tak tentu, yang tidak
dapat dihitung apabila menggunakan teori keseimbangan statis.
Sesudah gaya atau momen reaksi tumpuan dapat dihitung, maka prosedur
perhitungan lenturan pada struktur tak tentu adalah sama
dengan perhitungan pada struktur statis tertentu.
Untuk dapat menurunkan persamaan matematis lenturan yang terjadi pada suatu
batang
struktur, diambil beberapa persyaratan dan asumsi sbb.
a.
Bahan dari batang masih dalam kondisi elastis selama pembebanan
b.
Besarnya lenturan akibat gaya geser kecil sekali dibanding dengan lenturan yang
terjadi akibat beban momen (hanya untuk batang yang relatif
panjang).
c.
Besarnya modulus elastisitas (E) dan momen inertia (I) konstan sepanjang batang
yang ditinjau. Apabila besaran E atau I tidak konstan, fungsi matematis
kedua besaran tersebut terhadap panjang batang harus diketahui.
d.
Struktur bahan sepanjang batang dianggap homogin, sehingga deformasi yang
terjadi akibat beban selalu kontinyu. Dengan demikian bentuk lenturan yang
terjadi berupa suatu curva yang kontinyu dan terdapat bidang
netral ditengah-tengah batang pada waktu terjadi lenturan.
e.
Besarnya lenturan yang terjadi kecil sekali dibanding panjang batang, sehingga
kuadrat dari besaran sudut lenturannya dapat diabaikan.
Jari-jari lenturan.
Apabila bentuk lenturan yang terjadi pada suatu batang
terbebani merupakan segmen lingkaran, maka besarnya jari-jari
lenturan tersebut dapat dihitung. Bentuk segmen lingkaran hanya
didapat dengan persyaratan bahwa beban yang bekerja pada batang adalah berupa momen lentur yang besarnya tetap
sepanjang batang, disamping lima persyaratan yang telah disebutkan
dimuka. Dalam praktek beban momen yang besarnya konstan sepanjang batang jarang
sekali terjadi.
Untuk keperluan bahasan ini ditinjau hanya sebagian dari
panjang batang yang menerima beban momen konstan, yaitu bagian CD pada gambar
1.1. Bentuk lenturan pada segmen batang CD adalah segmen lingkaran, karena seperti
terlihat pada gambar 1.1 beban momen yang bekerja pada bagian ini
konstan. Ditinjau segmen kecil dari bagian batang CD seperti
ditunjukkan pada gambar 1.2. Terlihat bahwa bagian batang pada bagian dalam
garis netral L menerima beban tekan, sedang bagian luarnya menerima
beban tarik. Garis L sendiri tidak mengalami deformasi, sehingga
disebut garis netral. Ditinjau elemen kecil luasan abcd dibawah
garis netral, dan dengan konfigurasi sumbu koordinat x dan y pada seperti pada gambar
1.2. dan garis dd' sejajar sumbu y maka.
Gambar 1.1.
Gambar 1.2.
dq = dx/r (1.1)
dan
dd'
= y dq (1.2)
sedang
segitiga bdd' sebangun dengan segitiga oab maka,
dd'/bd
= ab/r
karena
bd = y dan ab = dx ,
dd'/y
= dx/r , atau dd'/dx = y/r (1.3)
perbandingan
dd'/dx adalah strain yang terjadi = e,
sehingga,
e = y/r
Keadaan
batang yang melentur masih dalam kondisi elastis, sehingga berlaku persamaan
linier tegangan-regangan (hukum Hooks): s = e.E, sehingga
persamaan diatas menjadi,
s = E y/r (1.4)
Momen
yang terjadi terhadap garis netral L akibat tegangan yang bekerja pada luasan abcd adalah,
gaya pada luasan abcd akibat adanya tegangan (s.dA) x jaraknya terhadap garis
netral, sehingga,
dM
= y.s dA
atau
dM
= s/y . y2 dA
sedang
y2.dA = dI ( I = momen inertia) sehingga,
dM
= s/y dI, atau
M
= s/y I (1.5)
substitusi
harga tegangan dari persamaan (1.4) kedalam persamaan diatas didapatkan
persamaan
besar jari-jari lenturan yang terjadi (r)
karena beban momen M,
M
= EI/r atau,
1/r = M/EI (1.6)
Lenturan karena momen tidak konstan
Apabila besar beban momen yang bekerja suatu batang merupakan
fungsi matematis dari panjang batang, maka jari-jari lenturan yang terjadi
juga merupakan fungsi panjang batang. Jari-jari lenturan disini
adalah jari-jari dari segmen-segmen kecil panjang batang, yang lenturannya
dapat dianggap berbentuk segmen lingkaran. Karena besar lenturan yang terjadi tergantung
kepada jari-jari lenturannya, maka besar lenturan yang terjadi juga merupakan fungsi
dari panjang batang.
Rumus
umum besarnya jari-jari pada titik sepanjang lengkungan suatu curva sebarang
adalah,
1 /
r = d2y/dx2 / [ 1 + (dy/dx)2] (1.7)
Dalam
persamaan ini y adalah besar lenturan yang terjadi (searah sumbu y), dan x
adalah jarak sepanjang batang (searah sumbu x). Salah satu persyaratan
dalam bahasan ini telah ditentukan bahwa kwadrad besaran sudut lenturan
dapat diabaikan atau,
(dy/dx)2
= 0,
sehingga
persamaan diatas menjadi,
1/r = d2y/dx2 (1.8)
Harga
jari-jari diatas kemudian disubstitusikan kedalam persamaan (1.6), sehingga
didapatkan rumus/persamaan umum besar lenturan elastis karena beban
momen sbb.,
EI.d2y/dx2
= M (1.9)
Dapat
diperhatikan dalam persamaan diatas bahwa arah lenturan (y) selalu searah
dengan arah momen, karena besaran modulus elastisitas E dan momen inertia
I selalu positip. Untuk memecahkan persamaan differensial diatas diperlukan persamaan
momen terhadap sumbu x.Pemecahan dapat dilakukan secara analitis, yaitu dengan
cara mengintegrasikan dua kali sehingga didapatkan besaran lenturannya
(y). Parameter-parameter lenturan dapat ditunjukkan dalam bentuk turunan secara
berurutan dimulai dengan besaran lenturan y sampai kepada
gaya yang bekerja (F) sbb.,
Lenturan =
y
Sudut
lenturan (q)=
dy/dx
Momen (M)= dq/dx = d2y/dx2
Beban
geser (V)= dM/dx, atau d3y/dx3
Beban
gaya (F)= dV/dx, atau d4y/dx4
Berdasarkan
persamaan umum turunan diatas, dapat ditunjukkan bahwa besarnya sudut lenturan
didapat dengan mengintegrasikan persamaan umum lenturan akibat momen pada persamaan
(1.9) sbb.
y
= dq/dx = d2y/dx2 = M/EI atau,
q = M/EI. x (1.10)
LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS
