LENTURAN BATANG ELASTIS

LENTUR BATANG ELASTIS

Dalam perencanaan suatu bagian mesin atau struktur selain perhitungan tegangan

(stress) yang terjadi akibat beban yang bekerja, besarnya lenturan seringkali harus

diperhitungkan. Hal ini disebabkan walaupun tegangan yang terjadi masih lebih kecil daripada

tegangan yang diijinkan oleh kekuatan bahan, bisa terjadi besar lenturan akibat beban yang

bekerja melebihi batas yang diijinkan. Keadaan demikian dapat menyebabkan kerusakan yang serius pada bagian mesin seperti :

a. Keretakan pada bahan

b. Bantalan pada poros yang berputar cepat rusak.

c. Bidang kontak antara roda-roda gigi menjadi tidak sempurna.

Besarnya lenturan yang terjadi pada suatu bagian mesin terutama tergantung kepada beberapa faktor :

a. Sifat kekakuan bahan (modulus elastisitas)

b. Posisi batang terhadap beban dan dimensi batang, yang biasanya ditunjukkan dalam besaran momen inertia batang.

c. Besarnya beban yang diterima

Lenturan pada suatu batang dapat terjadi akibat adanya beban gaya geser atau momen lentur. Lenturan akibat beban gaser umumnya sangat kecil dibandingkan dengan lenturan akibat beban momen. Lenturan akibat beban geser biasanya hanya diperhitungkan untuk batang yang sangat pendek, sehingga proporsi terhadap lenturan yang terjadi karena beban momen menjadi cukup berarti. Dalam bahasan buku ini hanya lenturan karena beban momen saja yang diperhitungkan, karena struktur yang dibahas memakai batang relatif panjang. Besarnya lenturan akibat beban momen dapat dihitung dengan memakai salah satu dari empat metode berikut:

a. Metode analitis (cara integrasi)

b. Metode luas bidang momen

c. Metode penjumlahan (superposisi)

d. Metode energi strain atau metode Castigliano.

Metode analitas atau integrasi dilakukan dengan cara mencari persamaan diferensial momen yang terjadi sepanjang batang. Dari persamaan momen kemudian diselesaikan dengan cara integrasi dua kali, untuk mendapatkan persamaan lenturan. Dua konstanta yang timbul akibat proses integrasi dapat dihitung dari kondisi batas (boundary conditions), yang ada pada struktur yang bersangkutan. Hasilnya adalah sebuah persamaan fungsi besar lenturan yang terjadi terhadap panjang batang, dari titik koordinat awal yang ditentukan.

Metode luas bidang momen adalah metode semigrafis, dengan memanfaatkan sifat sifat dari persamaan matematis lenturan. Luas bidang momen tidak dicari dengan menurunkan persamaannya, tetapi dengan cara menghitung luasan yang terjadi secara geometri. Metode ini lebih sederhana dan lebih cepat dibandingkan dengan metode integrasi terutama untuk struktur yang menerima banyak beban sepanjang batangnya.

Metode penjumlahan (superposisi) dilakukan dengan memanfaatkan besar lenturan yang telah dihitung sebelumnya (biasanya ditabelkan), pada struktur yang sederhana. Suatu struktur yang kompleks dibagi menjadi beberapa bagian berupa struktur yang lebih sederhana, yang besar lenturannya masing-masing telah diketahui. Besar lenturan pada struktur keseluruhan adalah jumlah dari semua lenturan yang terjadi pada masing-masing bagian struktur tersebut.

Metode energi strain biasa disebut dengan nama penemunya yaitu seorang insinyur Italia bernama Alberto Castigliano, pada tahun 1873. Teori Castigliano menyatakan bahwa lenturan yang terjadi pada suatu titik pada suatu batang adalah merupakan turunan parsial dari persamaan energi yang tersimpan didalam batang akibat beban yang bekerja, terhadap gaya yang bekerja pada titik tersebut. Apabila pada titik yang dicari lenturannya tidak ada gaya yang bekerja, maka biasanya diberikan gaya nol (dummy load) pada titik tersebut.

Penentuan metode mana yang terbaik atau seharusnya dipakai untuk memecahkan masalah lenturan suatu struktur, tergantung kepada jenis pembebanan dan kompleksitas strukturnya dan sedikit banyak juga tergantung kepada pengalaman perencana yaitu metode mana yang paling dikuasai. Tingkat ketelitian perhitungan yang diperlukan juga menentukan pemilihan metode yang dipakai, karena metode pada semigrafis misalnya sering memerlukan pendekatan untuk dapat menghitung luas bidang momen. Metode Castigliano adalah metode yang banyak dipakai, karena prosedur perhitungannnya sederhana walaupun dipakai pada batang dengan banyak beban dan struktur yang kompleks, dan derajad ketelitian perhitungannya tinggi.

Keempat metode pemecahan masalah lenturan tersebut diatas dapat digunakan pada batang dengan struktur statis tertentu maupun statis tak tentu. Penggunaan keempat metode perhitungan tersebut mempunyai kelebihan karena dapat sekaligus menghitung besarnya reaksi yang terjadi pada tumpuan pada batang dengan struktur statis tak tentu, yang tidak dapat dihitung apabila menggunakan teori keseimbangan statis. Sesudah gaya atau momen reaksi tumpuan dapat dihitung, maka prosedur perhitungan lenturan pada struktur tak tentu adalah sama dengan perhitungan pada struktur statis tertentu.

Teori
Untuk dapat menurunkan persamaan matematis lenturan yang terjadi pada suatu

batang struktur, diambil beberapa persyaratan dan asumsi sbb.

  a. Bahan dari batang masih dalam kondisi elastis selama pembebanan

  b. Besarnya lenturan akibat gaya geser kecil sekali dibanding dengan lenturan yang terjadi akibat            beban momen (hanya untuk batang yang relatif panjang).

  c. Besarnya modulus elastisitas (E) dan momen inertia (I) konstan sepanjang batang yang ditinjau.          Apabila besaran E atau I tidak konstan, fungsi matematis kedua besaran tersebut terhadap                    panjang  batang harus diketahui.

  d. Struktur bahan sepanjang batang dianggap homogin, sehingga deformasi yang terjadi akibat                beban selalu kontinyu. Dengan demikian bentuk lenturan yang terjadi berupa suatu curva yang            kontinyu dan terdapat bidang netral ditengah-tengah batang pada waktu terjadi lenturan.

  e. Besarnya lenturan yang terjadi kecil sekali dibanding panjang batang, sehingga kuadrat dari                besaran sudut lenturannya dapat diabaikan.

Jari-jari lenturan.

Apabila bentuk lenturan yang terjadi pada suatu batang terbebani merupakan segmen lingkaran, maka besarnya jari-jari lenturan tersebut dapat dihitung. Bentuk segmen lingkaran hanya didapat dengan persyaratan bahwa beban yang bekerja pada batang adalah berupa momen lentur yang besarnya tetap sepanjang batang, disamping lima persyaratan yang telah disebutkan dimuka. Dalam praktek beban momen yang besarnya konstan sepanjang batang jarang sekali terjadi.

Untuk keperluan bahasan ini ditinjau hanya sebagian dari panjang batang yang menerima beban momen konstan, yaitu bagian CD pada gambar 1.1. Bentuk lenturan pada segmen batang CD adalah segmen lingkaran, karena seperti terlihat pada gambar 1.1 beban momen yang bekerja pada bagian ini konstan. Ditinjau segmen kecil dari bagian batang CD seperti ditunjukkan pada gambar 1.2. Terlihat bahwa bagian batang pada bagian dalam garis netral L menerima beban tekan, sedang bagian luarnya menerima beban tarik. Garis L sendiri tidak mengalami deformasi, sehingga disebut garis netral. Ditinjau elemen kecil luasan abcd dibawah garis netral, dan dengan konfigurasi sumbu koordinat x dan y pada seperti pada gambar 1.2. dan garis dd' sejajar sumbu y maka.

Gambar 1.1.

Gambar 1.2.

dq = dx/r                                                                                                                                (1.1)

dan

dd' = y dq                                                                                                                               (1.2)

sedang segitiga bdd' sebangun dengan segitiga oab maka,

dd'/bd = ab/r

karena bd = y dan ab = dx ,

dd'/y = dx/r , atau dd'/dx = y/r                                                                                            (1.3)

perbandingan dd'/dx adalah strain yang terjadi = e, sehingga,

e = y/r

Keadaan batang yang melentur masih dalam kondisi elastis, sehingga berlaku persamaan linier tegangan-regangan (hukum Hooks): s = e.E, sehingga persamaan diatas menjadi,

s = E y/r                                                                                                                                (1.4)

Momen yang terjadi terhadap garis netral L akibat tegangan yang bekerja pada luasan abcd adalah, gaya pada luasan abcd akibat adanya tegangan (s.dA) x jaraknya terhadap garis netral, sehingga,

dM = y.s dA

atau

dM = s/y . y2 dA

sedang y2.dA = dI ( I = momen inertia) sehingga,

dM = s/y dI, atau

M = s/y I                                                                                                                                 (1.5)

substitusi harga tegangan dari persamaan (1.4) kedalam persamaan diatas didapatkan

persamaan besar jari-jari lenturan yang terjadi (r) karena beban momen M,

M = EI/r atau,

1/r = M/EI                                                                                                                              (1.6)

Lenturan karena momen tidak konstan

Apabila besar beban momen yang bekerja suatu batang merupakan fungsi matematis dari panjang batang, maka jari-jari lenturan yang terjadi juga merupakan fungsi panjang batang. Jari-jari lenturan disini adalah jari-jari dari segmen-segmen kecil panjang batang, yang lenturannya dapat dianggap berbentuk segmen lingkaran. Karena besar lenturan yang terjadi tergantung kepada jari-jari lenturannya, maka besar lenturan yang terjadi juga merupakan fungsi dari panjang batang.

Rumus umum besarnya jari-jari pada titik sepanjang lengkungan suatu curva sebarang

adalah,

1 / r = d2y/dx2 / [ 1 + (dy/dx)2]                                                                                            (1.7)

Dalam persamaan ini y adalah besar lenturan yang terjadi (searah sumbu y), dan x adalah jarak sepanjang batang (searah sumbu x). Salah satu persyaratan dalam bahasan ini telah ditentukan bahwa kwadrad besaran sudut lenturan dapat diabaikan atau,

(dy/dx)2 = 0,

sehingga persamaan diatas menjadi,

1/r = d2y/dx2                                                                                                                        (1.8)

Harga jari-jari diatas kemudian disubstitusikan kedalam persamaan (1.6), sehingga didapatkan rumus/persamaan umum besar lenturan elastis karena beban momen sbb.,

EI.d2y/dx2 = M                                                                                                                      (1.9)

Dapat diperhatikan dalam persamaan diatas bahwa arah lenturan (y) selalu searah dengan arah momen, karena besaran modulus elastisitas E dan momen inertia I selalu positip. Untuk memecahkan persamaan differensial diatas diperlukan persamaan momen terhadap sumbu x.Pemecahan dapat dilakukan secara analitis, yaitu dengan cara mengintegrasikan dua kali sehingga didapatkan besaran lenturannya (y). Parameter-parameter lenturan dapat ditunjukkan dalam bentuk turunan secara berurutan dimulai dengan besaran lenturan y sampai kepada gaya yang bekerja (F) sbb.,

Lenturan = y

Sudut lenturan (q)= dy/dx

Momen (M)= dq/dx = d2y/dx2

Beban geser (V)= dM/dx, atau d3y/dx3

Beban gaya (F)= dV/dx, atau d4y/dx4

Berdasarkan persamaan umum turunan diatas, dapat ditunjukkan bahwa besarnya sudut lenturan didapat dengan mengintegrasikan persamaan umum lenturan akibat momen pada persamaan (1.9) sbb.

y = dq/dx = d2y/dx2 = M/EI atau,

q = M/EI. x                                                                                                                              (1.10)

LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS LENTURAN BATANG ELASTIS